巴特沃斯低通滤波器的规划与仿真剖析

  ：巴特沃斯滤波器具有通频带内的频率响应曲线最大极限平整、没有纹波、而在阻频带则逐步下降为零的长处。本文从巴特沃斯滤波器的传递函数着手，针对特定规划参数经过双线性改换完结了数字滤波器的规划，最终经过仿真剖析，展现了巴特沃斯滤波器在幅值衰减与相位滞后的特色，为工程技术人员在滤波器的挑选与规划上供给参阅。

  巴特沃斯滤波器（Butterworth Filter）也被称作最大平整滤波器。其特色是在通频带内，其频率响应曲线最大极限平整、单调递减无波纹发生；而在阻频带内，其频率响应曲线逐步下降为零。这些长处使其在信号处理范畴存在广泛的运用。关于滤波器的功能一般考虑其幅频特性，但关于更深层次的信号处理运用方面，滤波器的相频特性也是其重要特性之一。尤其是在多点鼓励、载荷树立以及传递途径辨认等方面问题的研讨中具有极端严重效果。

  式中：B(jω) 为接连时刻巴特沃斯传递函数，ω为频率，ωC为滤波器截止频率，N为阶数，该滤波器Bode 图如图1 所示。

  将式（1）转换为Laplace 域剖析，即令s= jω，可得到式（2）。

  作归一化巴特沃斯滤波器的拉普拉斯域平面，可以取得2N个以虚轴Im 对称的极点，以N= 3 为例其极点散布如图2 所示，一切极点都均分在以原点为中心的单位圆上。

  其间多项式系数bi可构为建归一化N阶巴特沃斯滤波器的传递函数系数，不同阶数系数如表1 所示。

  针对通带截止频率与阻带截止频率规划的根本要求，树立式（6）与（7）的滤波器规划约束条件。

  因为阶数需为整数，将理论阶数N* 向高阶取整以得到N，并代入式（9），即可得到截止频率ωc。

  经核算，N= 4，ωc= 5.275 kHz，经过归一化滤波器系数，即可表得到滤波器的传递函数为式（10）。

  选用双线性改换法，即经过式（11）完结s 域到z域的映射。由此即可得到在采样频率下的数字滤波器传递函数。

  仿真过程中，经过构建两路不同频率正弦波信号x1和x2进行叠加作为输入，其间x1为300Hz，x2为15kHz。按图4 所示原理图，将叠加信号经过采样器采样后输入数字滤波器，经过示波器别离显现原始叠加信号、频率低的信号与滤波信号的波形。

  图4 仿线的波形剖析可以精确的看出，该滤波器可以很好的将高频信号滤除，滤波信号的波形根本可以复原输入的低频信号。只是在幅值上有0.028%的衰减，相位上存在127.433μs的推迟。

  本文从巴特沃斯滤波器的规划原理着手，经过极点剖析推导了巴特沃斯系数表的构建办法，并剖析了规划阶数对滤波器的幅频特性与相频特性所发生的影响。经过结合实例目标参数要求，运用双线性改换